Упр.40.48 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) корень(2^-1) * корень(2^(x^2 — 7,5)) > = 2^-7;
б) 0,9^(x^2 — 4x) < (10/9)^3;
в) 14^(x^2 + x) < = 196;
г) (1/корень(3))^(3x^2 - 13x) > 9.
а) $$\sqrt{2^{-1}}\cdot \sqrt{2^{x^2-7,5}}\ge 2^{-7}$$
$$2^{-\frac12}\cdot 2^{\frac{x^2-7,5}{2}}\ge 2^{-7}$$
$$2^{\frac{x^2-7,5-1}{2}}\ge 2^{-7}$$
Так как основание $$2>1$$, сравниваем показатели:
$$\frac{x^2-8,5}{2}\ge -7$$
$$x^2-8,5\ge -14$$
$$x^2\ge -5,5$$
Это верно при любых $$x$$.
$$x\in \mathbb{R}$$
б) $$0,9^{x^2-4x}<\left(\frac{10}{9}\right)^3$$
$$\left(\frac{10}{9}\right)^3=0,9^{-3}$$
Тогда
$$0,9^{x^2-4x}<0,9^{-3}$$
Так как $$0<0,9<1$$, сравниваем показатели с противоположным знаком:
$$x^2-4x>-3$$
$$x^2-4x+3>0$$
$$ (x-1)(x-3)>0 $$
Отсюда
$$x<1 \text{ или } x>3$$
в) $$14^{x^2+x}\le 196$$
$$196=14^2$$, значит
$$14^{x^2+x}\le 14^2$$
Так как $$14>1$$, получаем:
$$x^2+x\le 2$$
$$x^2+x-2\le 0$$
$$ (x+2)(x-1)\le 0 $$
Отсюда
$$-2\le x\le 1$$
г) $$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2-13x}>9$$
$$9=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-4}$$
Тогда
$$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3x^2-13x}>\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-4}$$
Так как $$0<\frac{1}{\sqrt{3}}<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:
$$3x^2-13x<-4$$
$$3x^2-13x+4<0$$
$$ (3x-1)(x-4)<0 $$
Отсюда
$$\frac13<x<4$$
Ответ
а) $$x\in \mathbb{R}$$; б) $$x\in (-\infty;1)\cup(3;+\infty)$$; в) $$x\in [-2;1]$$; г) $$x\in \left(\frac13;4\right)$$.
