Упр.40.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2^(3x + 6) < = (1/4)^(x - 1); б) (7/12)^(-2x + 3) > (12/7)^(3 + 2x);
в) 25^(-x + 3) > = (1/5)^(3x — 1);
г) (5/3)^(2x — 8) < (9/25)^(-x + 3).

1. а) $$2^{3x+6}\le \left(\frac14\right)^{x-1}$$

   Представим правую часть как степень числа $2$:

   $$\left(\frac14\right)^{x-1}=\left(2^{-2}\right)^{x-1}=2^{-2x+2}$$

   Тогда

   $$2^{3x+6}\le 2^{-2x+2}$$

   Так как основание $2>1$, сравниваем показатели:

   $$3x+6\le -2x+2$$

   $$5x\le -4$$

   $$x\le -\frac45$$

2. б) $$\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3}>\left(\frac{12}{7}\right)^{3+2x}$$

   Преобразуем правую часть:

   $$\frac{12}{7}=\left(\frac{7}{12}\right)^{-1}$$

   Тогда

   $$\left(\frac{7}{12}\right)^{-2x+3}>\left(\frac{7}{12}\right)^{-3-2x}$$

   Основание $\frac{7}{12}$ лежит между $0$ и $1$, значит при сравнении показателей знак неравенства меняется:

   $$-2x+3<-3-2x$$

   $$3<-3$$

   Получили неверное утверждение, значит решений нет.

3. в) $$25^{-x+3}\ge \left(\frac15\right)^{3x-1}$$

   Представим $25$ как степень числа $5$:

   $$25=5^2,\qquad \frac15=5^{-1}$$

   Тогда

   $$\left(5^2\right)^{-x+3}\ge \left(5^{-1}\right)^{3x-1}$$

   $$5^{-2x+6}\ge 5^{-3x+1}$$

   Так как основание $5>1$, сравниваем показатели:

   $$-2x+6\ge -3x+1$$

   $$x\ge -5$$

4. г) $$\left(\frac53\right)^{2x-8}<\left(\frac{9}{25}\right)^{-x+3}$$

   Преобразуем правую часть:

   $$\frac{9}{25}=\left(\frac35\right)^2=\left(\frac53\right)^{-2}$$

   Тогда

   $$\left(\frac53\right)^{2x-8}<\left(\frac53\right)^{2x-6}$$

   Основание $\frac53>1$, значит сравниваем показатели:

   $$2x-8<2x-6$$

   $$-8<-6$$

   Это верно при любом $x$.

Ответ

а) $$x\in\left(-\infty;-\frac45\right]$$; б) решений нет; в) $$x\in[-5;+\infty)$$; г) $$x\in\mathbb{R}$$.