Упр.40.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2^(x^2 + 2x — 6) — 2^(7 — 2x — x^2) = 3,5;
б) З^(2x^2 + x) = 26 + З^(3 — х — 2х^2).

1. $$2^{x^2+2x-6}-2^{7-2x-x^2}=3{,}5$$

   Заметим, что $$7-2x-x^2=1-(x^2+2x-6)$$. Обозначим

   $$y=2^{x^2+2x-6}, \qquad 2^{7-2x-x^2}=2\cdot 2^{-(x^2+2x-6)}=\frac{2}{y}.$$

   Тогда

   $$y-\frac{2}{y}=3{,}5.$$

   Умножим на $$2y$$:

   $$2y^2-4=7y,$$

   $$2y^2-7y-4=0.$$

   $$D=49+32=81,$$

   $$y_{1,2}=\frac{7\pm 9}{4}.$$

   Получаем:

   $$y_1=4,\qquad y_2=-\frac12.$$

   Так как $$y=2^{x^2+2x-6}>0,$$ значение $$y_2$$ не подходит.

   Остаётся

   $$2^{x^2+2x-6}=4=2^2,$$

   $$x^2+2x-6=2,$$

   $$x^2+2x-8=0,$$

   $$x=\frac{-2\pm 6}{2}.$$

   $$x=-4,\; 2.$$

2. $$3^{2x^2+x}=26+3^{3-x-2x^2}$$

   Преобразуем правую часть:

   $$3^{3-x-2x^2}=3^3\cdot 3^{-x-2x^2}=\frac{27}{3^{2x^2+x}}.$$

   Обозначим

   $$y=3^{2x^2+x}.$$

   Тогда

   $$y=26+\frac{27}{y}.$$

   Умножим на $$y$$:

   $$y^2-26y-27=0.$$

   $$D=26^2+108=784,$$

   $$y_{1,2}=\frac{26\pm 28}{2}.$$

   Получаем:

   $$y_1=27,\qquad y_2=-1.$$

   Так как $$y=3^{2x^2+x}>0,$$ значение $$y_2$$ не подходит.

   Тогда

   $$3^{2x^2+x}=27=3^3,$$

   $$2x^2+x=3,$$

   $$2x^2+x-3=0,$$

   $$D=1+24=25,$$

   $$x=\frac{-1\pm 5}{4}.$$

   $$x=1,\; -\frac32.$$

Ответ

а) $$-4,\; 2$$; б) $$1,\; -\frac32$$.