Упр.40.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 18^x — 8 * 6^x — 9 * 2^x = 0;
б) 12^x — 6^(x + 1) + 8 * 3^x = 0.

1. а) $$18^x-8\cdot 6^x-9\cdot 2^x=0$$

   Представим степени через основание $$2$$:

   $$18^x=(2\cdot 9)^x=2^x\cdot 9^x,\quad 6^x=2^x\cdot 3^x$$

   Тогда

   $$2^x(9^x-8\cdot 3^x-9)=0.$$

   Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, получаем

   $$9^x-8\cdot 3^x-9=0.$$

   Сделаем замену $$y=3^x$$. Тогда $$9^x=(3^x)^2=y^2$$, и имеем:

   $$y^2-8y-9=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-9)=100,$$

   $$y_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2}.$$

   Получаем:

   $$y_1=9,\quad y_2=-1.$$

   Так как $$y=3^x>0$$, значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда

   $$3^x=9,$$

   $$x=2.$$

2. б) $$12^x-6^{x+1}+8\cdot 3^x=0$$

   Представим всё через $$2^x$$:

   $$12^x=(3\cdot 4)^x=3^x\cdot 4^x,\quad 6^{x+1}=6\cdot 6^x=6\cdot 2^x\cdot 3^x.$$

   Тогда

   $$3^x\cdot 4^x-6\cdot 2^x\cdot 3^x+8\cdot 3^x=0,$$

   $$3^x\bigl(4^x-6\cdot 2^x+8\bigr)=0.$$

   Так как $$3^x>0$$, получаем

   $$4^x-6\cdot 2^x+8=0.$$

   Сделаем замену $$t=2^x$$. Тогда $$4^x=(2^x)^2=t^2$$, и имеем:

   $$t^2-6t+8=0.$$

   Решим уравнение:

   $$D=6^2-4\cdot 1\cdot 8=4,$$

   $$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}.$$

   Получаем:

   $$t_1=4,\quad t_2=2.$$

   Возвращаемся к замене:

   $$2^x=4 \Rightarrow x=2,$$

   $$2^x=2 \Rightarrow x=1.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$1,\,2$$.