Упр.40.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2^(2х + 1) — 5 * 2^х — 88 = 0;
б) (1/2)^2х — (1/2)^(x — 2) — 32 = 0;
в) 5^(2x + 1) — 26 * 5^x + 5 = 0;
г) (1/3)^2x + (1/3)^(x — 2) — 162 = 0.

1. а)

   $$2^{2x+1}-5\cdot 2^x-88=0$$
   $$2\cdot 2^{2x}-5\cdot 2^x-88=0$$
   Пусть $$y=2^x,\; y>0$$. Тогда
   $$2y^2-5y-88=0.$$
   $$D=25+4\cdot 2\cdot 88=729,$$
   $$y_{1,2}=\frac{5\pm 27}{4}.$$
   Получаем:
   $$y_1=-\frac{11}{2},\quad y_2=8.$$
   Так как $$y>0,$$ подходит только $$y=8$$:
   $$2^x=8,$$
   $$x=3.$$

2. б)

   $$\left(\frac12\right)^{2x}-\left(\frac12\right)^{x-2}-32=0$$
   $$\left(\frac12\right)^{2x}-\left(\frac12\right)^x\cdot \left(\frac12\right)^{-2}-32=0$$
   $$\left(\frac12\right)^{2x}-4\left(\frac12\right)^x-32=0.$$
   Пусть $$y=\left(\frac12\right)^x,\; y>0$$. Тогда
   $$y^2-4y-32=0.$$
   $$D=16+128=144,$$
   $$y_{1,2}=\frac{4\pm 12}{2}.$$
   Получаем:
   $$y_1=8,\quad y_2=-4.$$
   Так как $$y>0,$$ подходит только $$y=8$$:
   $$\left(\frac12\right)^x=8=2^3,$$
   $$2^{-x}=2^3,$$
   $$x=-3.$$

3. в)

   $$5^{2x+1}-26\cdot 5^x+5=0$$
   $$5\cdot 5^{2x}-26\cdot 5^x+5=0$$
   Пусть $$y=5^x,\; y>0$$. Тогда
   $$5y^2-26y+5=0.$$
   $$D=26^2-4\cdot 5\cdot 5=576,$$
   $$y_{1,2}=\frac{26\pm 24}{10}.$$
   Получаем:
   $$y_1=5,\quad y_2=\frac15.$$
   Тогда
   $$5^x=5 \Rightarrow x=1,$$
   $$5^x=\frac15 \Rightarrow x=-1.$$

4. г)

   $$\left(\frac13\right)^{2x}+\left(\frac13\right)^{x-2}-162=0$$
   $$\left(\frac13\right)^{2x}+\left(\frac13\right)^x\cdot \left(\frac13\right)^{-2}-162=0$$
   $$\left(\frac13\right)^{2x}+9\left(\frac13\right)^x-162=0.$$
   Пусть $$y=\left(\frac13\right)^x,\; y>0$$. Тогда
   $$y^2+9y-162=0.$$
   $$D=9^2+4\cdot 162=729,$$
   $$y_{1,2}=\frac{-9\pm 27}{2}.$$
   Получаем:
   $$y_1=9,\quad y_2=-18.$$
   Так как $$y>0,$$ подходит только $$y=9$$:
   $$\left(\frac13\right)^x=9=3^2,$$
   $$3^{-x}=3^2,$$
   $$x=-2.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$-3$$; в) $$1,\,-1$$; г) $$-2$$.