Упр.40.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 4 * (1/16)^x — 17 * (1/4)^x + 4 = 0;
б) 0,01^x + 9,9 * (0,1)^x — 1 = 0;
в) 3 * (4/9)^x + 7 * (2/3)^x — 6 = 0;
г) 5 * (4/25)^x + 23 * (2/5)^x — 10 = 0.

1. а) $$4\left(\frac{1}{16}\right)^x-17\left(\frac{1}{4}\right)^x+4=0$$

   Так как $$\left(\frac{1}{16}\right)^x=\left(\frac{1}{4}\right)^{2x},$$ сделаем замену $$y=\left(\frac{1}{4}\right)^x,\ y>0.$$ Тогда получаем:

   $$4y^2-17y+4=0$$

   $$D=17^2-4\cdot 4\cdot 4=225$$

   $$y_{1,2}=\frac{17\pm 15}{8}$$

   $$y_1=4,\quad y_2=\frac14$$

   Тогда:

   $$\left(\frac14\right)^x=4 \Rightarrow x=-1,$$

   $$\left(\frac14\right)^x=\frac14 \Rightarrow x=1.$$

2. б) $$0{,}01^x+9{,}9\cdot (0{,}1)^x-1=0$$

   Так как $$0{,}01^x=(0{,}1)^{2x},$$ положим $$y=(0{,}1)^x,\ y>0.$$ Тогда:

   $$y^2+9{,}9y-1=0$$

   $$D=9{,}9^2+4=102{,}01$$

   $$y_{1,2}=\frac{-9{,}9\pm 10{,}1}{2}$$

   $$y_1=0{,}1,\quad y_2=-10$$

   Значение $$y=-10$$ не подходит, так как $$y>0.$$ Поэтому:

   $$0{,}1^x=0{,}1 \Rightarrow x=1.$$

3. в) $$3\left(\frac49\right)^x+7\left(\frac23\right)^x-6=0$$

   Так как $$\left(\frac49\right)^x=\left(\frac23\right)^{2x},$$ положим $$y=\left(\frac23\right)^x,\ y>0.$$ Тогда:

   $$3y^2+7y-6=0$$

   $$D=7^2+4\cdot 3\cdot 6=121$$

   $$y_{1,2}=\frac{-7\pm 11}{6}$$

   $$y_1=\frac23,\quad y_2=-3$$

   Корень $$y=-3$$ не подходит. Значит,

   $$\left(\frac23\right)^x=\frac23 \Rightarrow x=1.$$

4. г) $$5\left(\frac{4}{25}\right)^x+23\left(\frac25\right)^x-10=0$$

   Так как $$\left(\frac{4}{25}\right)^x=\left(\frac25\right)^{2x},$$ положим $$y=\left(\frac25\right)^x,\ y>0.$$ Тогда:

   $$5y^2+23y-10=0$$

   $$D=23^2+4\cdot 5\cdot 10=729$$

   $$y_{1,2}=\frac{-23\pm 27}{10}$$

   $$y_1=\frac25,\quad y_2=-5$$

   Корень $$y=-5$$ не подходит. Значит,

   $$\left(\frac25\right)^x=\frac25 \Rightarrow x=1.$$

Ответ

а) $$x=-1,\ 1$$; б) $$x=1$$; в) $$x=1$$; г) $$x=1$$.