Упр.39.48 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) 2^х + 1 > = cos x;
б) 2^|х| + 1 > 2cos x;
в) (1/3)^x + 1 < sin x;
г) 3^|x| < = cos 2x.
а) $$2^x+1\ge \cos x.$$
Так как $$2^x>0$$ при любом $$x$$, то $$2^x+1>1.$$
При этом $$\cos x\le 1.$$ Значит, всегда выполняется
$$2^x+1\ge \cos x.$$
Следовательно, неравенство верно при всех $$x\in\mathbb{R}.$$
б) $$2^{|x|}+1>2\cos x.$$
Так как $$|x|\ge 0,$$ то $$2^{|x|}\ge 1,$$ значит
$$2^{|x|}+1\ge 2.$$
С другой стороны, $$\cos x\le 1,$$ поэтому
$$2\cos x\le 2.$$
Равенство возможно только при $$x=0,$$ а в этом случае
$$2^{|0|}+1=2,\qquad 2\cos 0=2,$$
то есть строгое неравенство не выполняется.
Следовательно, решение — все $$x,$$ кроме $$0.$$
в) $$\left(\frac13\right)^x+1<\sin x.$$
Так как $$\left(\frac13\right)^x>0,$$ то
$$\left(\frac13\right)^x+1>1.$$
Но $$\sin x\le 1.$$ Значит, левая часть всегда больше правой, и неравенство решений не имеет.
г) $$3^{|x|}\le \cos 2x.$$
Так как $$|x|\ge 0,$$ то $$3^{|x|}\ge 1.$$
А поскольку $$\cos 2x\le 1,$$ то для выполнения неравенства нужно, чтобы одновременно
$$3^{|x|}=1,\qquad \cos 2x=1.$$
Из $$3^{|x|}=1$$ получаем $$|x|=0,$$ то есть $$x=0.$$ Проверка: $$\cos 0=1,$$ значит, неравенство верно.
Ответ
а) $$x\in(-\infty;+\infty)$$;
б) $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
в) решений нет;
г) $$x=0$$.
