Упр.39.44 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 2^x — 1 = корень(x);
б) (1/4)^x = корень(x) + 1;
в) 3^x — 1 = -корень(x);
г) (1/3)^x = корень(x) + 1.

1. а) $$2^x-1=\sqrt{x}$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Рассмотрим функции $$y=2^x-1$$ и $$y=\sqrt{x}.$$ Первая возрастает при всех $$x,$$ вторая возрастает при $$x\ge 0.$$ Проверим несколько значений:

   $$x=0:\quad 2^0-1=0,\quad \sqrt{0}=0;$$
   
   $$x=1:\quad 2^1-1=1,\quad \sqrt{1}=1.$$

   Значит, уравнение имеет корни $$x=0$$ и $$x=1.$$

2. б) $$\left(\frac14\right)^x=\sqrt{x}+1$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Функция $$y=\left(\frac14\right)^x$$ убывает на $$[0;+\infty),$$ а функция $$y=\sqrt{x}+1$$ возрастает на $$[0;+\infty).$$ Следовательно, пересечение может быть только одно. Проверим $$x=0$$:

   $$\left(\frac14\right)^0=1,\qquad \sqrt{0}+1=1.$$

   Значит, $$x=0.$$

3. в) $$3^x-1=-\sqrt{x}$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Функция $$y=3^x-1$$ возрастает на $$[0;+\infty),$$ а функция $$y=-\sqrt{x}$$ убывает на $$[0;+\infty).$$ Проверим $$x=0$$:

   $$3^0-1=0,\qquad -\sqrt{0}=0.$$

   Следовательно, $$x=0.$$

4. г) $$\left(\frac13\right)^x=\sqrt{x}+1$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

   Функция $$y=\left(\frac13\right)^x$$ убывает на $$[0;+\infty),$$ а функция $$y=\sqrt{x}+1$$ возрастает на $$[0;+\infty).$$ Проверим $$x=0$$:

   $$\left(\frac13\right)^0=1,\qquad \sqrt{0}+1=1.$$

   Значит, $$x=0.$$

Ответ

а) $$0; 1$$; б) $$0$$; в) $$0$$; г) $$0$$.