Упр.39.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) y = 3^(x — 1) + 8, [-3; 1];
б) y = 5 * (3/5)^x + 4, [-1; 2];
в) у = 7^(х — 2) + 9, [0; 2];
г) у = 4 * (1/2)^x + 13, [2; 3].
$$y=3^{x-1}+8,\quad [-3;1]$$
Так как $$3>1,$$ функция $$3^{x-1}$$ возрастает на всей области определения. Значит, на отрезке $$[-3;1]$$ наименьшее значение достигается при $$x=-3,$$ а наибольшее — при $$x=1.$$
$$ y(-3)=3^{-3-1}+8=3^{-4}+8=\frac{1}{81}+8=8\frac{1}{81} $$
$$ y(1)=3^{1-1}+8=3^0+8=1+8=9 $$
$$y=5\left(\frac{3}{5}\right)^x+4,\quad [-1;2]$$
Так как $$\frac{3}{5}<1,$$ функция $$\left(\frac{3}{5}\right)^x$$ убывает. Следовательно, наименьшее значение достигается при $$x=2,$$ а наибольшее — при $$x=-1.$$
$$ y(2)=5\left(\frac{3}{5}\right)^2+4=5\cdot\frac{9}{25}+4=\frac{9}{5}+4=5\frac{4}{5} $$
$$ y(-1)=5\left(\frac{3}{5}\right)^{-1}+4=5\cdot\frac{5}{3}+4=\frac{25}{3}+4=12\frac{1}{3} $$
$$y=7^{x-2}+9,\quad [0;2]$$
Так как $$7>1,$$ функция $$7^{x-2}$$ возрастает. Значит, наименьшее значение достигается при $$x=0,$$ а наибольшее — при $$x=2.$$
$$ y(0)=7^{0-2}+9=7^{-2}+9=\frac{1}{49}+9=9\frac{1}{49} $$
$$ y(2)=7^{2-2}+9=7^0+9=1+9=10 $$
$$y=4\left(\frac{1}{2}\right)^x+13,\quad [2;3]$$
Так как $$\frac{1}{2}<1,$$ функция $$\left(\frac{1}{2}\right)^x$$ убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=2,$$ а наименьшее — при $$x=3.$$
$$ y(2)=4\left(\frac{1}{2}\right)^2+13=4\cdot\frac{1}{4}+13=14 $$
$$ y(3)=4\left(\frac{1}{2}\right)^3+13=4\cdot\frac{1}{8}+13=13\frac{1}{2} $$
Ответ
а) $$y_{\min}=8\frac{1}{81},\ y_{\max}=9$$; б) $$y_{\min}=5\frac{4}{5},\ y_{\max}=12\frac{1}{3}$$; в) $$y_{\min}=9\frac{1}{49},\ y_{\max}=10$$; г) $$y_{\min}=13\frac{1}{2},\ y_{\max}=14$$.
