Упр.39.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

система
(1/4)^x, если x < = 0, cos x, если x > 0.
а) Вычислите f(-3); f(-2); f(-1,5); f(0); f(пи/4), f(3пи/2);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции.

Подробный ответ

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} \left(\frac14\right)^x, & x\le 0,\\ \cos x, & x>0. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции.

Если $x\le 0$, используем формулу $$f(x)=\left(\frac14\right)^x.$$ Тогда

$$ f(-3)=\left(\frac14\right)^{-3}=4^3=64, $$

$$ f(-2)=\left(\frac14\right)^{-2}=4^2=16, $$

$$ f(-1{,}5)=\left(\frac14\right)^{-1{,}5}=4^{1{,}5}=4^{\frac32}=8, $$

$$ f(0)=\left(\frac14\right)^0=1. $$

Если $x>0$, используем формулу $$f(x)=\cos x.$$ Тогда

$$ f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}, $$

$$ f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=\cos\frac{3\pi}{2}=0. $$

б) График функции состоит из двух частей:

при $x\le 0$ — график показательной функции $$y=\left(\frac14\right)^x$$;
при $x>0$ — график функции $$y=\cos x$$.

В точке $x=0$ обе части дают одно и то же значение: $$f(0)=1,$$ поэтому графики соединяются в точке $(0;1)$.

в) По графику получаем:

область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty);$$
функция ни чётная, ни нечётная;
на промежутке $$(-\infty;0]$$ функция убывает, а на $$x>0$$ является косинусоидой;
функция ограничена снизу: $$y_{\min}=-1;$$
наибольшего значения не имеет;
множество значений: $$E(f)=[-1;+\infty);$$
функция непрерывна на всей области определения.