Упр.39.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

система
(1/2)^x, если x < 0, корень(x) + 1, если x > = 0.
а) Вычислите f(-5); f(-2,5); f(0); f(4); f(1,69);
б) постройте график функции у = f(x);
в) прочитайте график функции.

Функция задана по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} \left(\dfrac12\right)^x, & x<0,\\ \sqrt{x}+1, & x\ge 0. \end{cases} $$

а) Вычислим значения функции:

$$ f(-5)=\left(\dfrac12\right)^{-5}=2^5=32 $$
$$ f(-2{,}5)=\left(\dfrac12\right)^{-2{,}5}=2^{2{,}5}=2^2\cdot 2^{0{,}5}=4\sqrt2 $$
$$ f(0)=\sqrt0+1=1 $$
$$ f(4)=\sqrt4+1=2+1=3 $$
$$ f(1{,}69)=\sqrt{1{,}69}+1=1{,}3+1=2{,}3 $$

б) Построим график функции.

При $$x<0$$ это график показательной функции $$y=\left(\dfrac12\right)^x$$. Для построения удобно взять точки:

$$ (-3;8),\;(-2;4),\;(0;1) $$

При $$x\ge 0$$ это график функции $$y=\sqrt{x}+1$$. Для построения возьмём точки:

$$ (0;1),\;(1;2),\;(4;3),\;(9;4) $$

График состоит из двух ветвей, которые соединяются в точке $$ (0;1) $$.

в) По графику получаем:

• область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• множество значений: $$E(f)=[1;+\infty)$$;
• функция ни чётная, ни нечётная;
• на луче $$(-\infty;0]$$ функция убывает, на луче $$[0;+\infty)$$ возрастает;
• наименьшее значение: $$y_{\min}=1$$;
• функция ограничена снизу и не ограничена сверху;
• непрерывна на всей области определения.

Ответ

$$ f(-5)=32,\quad f(-2{,}5)=4\sqrt2,\quad f(0)=1,\quad f(4)=3,\quad f(1{,}69)=2{,}3. $$

$$ D(f)=(-\infty;+\infty),\qquad E(f)=[1;+\infty). $$