Упр.38.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) на отрезке [0; 1];
б) на луче [1; +бесконечность);
в) на интервале (2; 3);
г) на полуинтервале (5; 16].

Функция $$y=x^{\frac14}$$ определена при $$x\ge 0$$ и на всей области определения возрастает, так как

$$y’=\frac14x^{-\frac34}>0.$$

1. На отрезке $$[0;1]$$ наименьшее значение функция принимает в левой границе, а наибольшее — в правой:

   $$y(0)=0^{\frac14}=0,$$

   $$y(1)=1^{\frac14}=1.$$

   Ответ: $$y_{\min}=0,\; y_{\max}=1.$$

2. На луче $$[1;+\infty)$$ функция возрастает, поэтому

   $$y_{\min}=y(1)=1.$$

   При $$x\to+\infty$$ значение $$y$$ неограниченно возрастает, значит наибольшего значения нет.

   Ответ: $$y_{\min}=1,\; y_{\max}$$ не существует.

3. На интервале $$\left(2;3\right)$$ функция возрастает, но границы интервала не входят в область рассмотрения, поэтому ни наименьшего, ни наибольшего значения нет.

   Ответ: $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}$$ не существует.

4. На полуинтервале $$\left(5;16\right]$$ функция возрастает. Правая граница входит в промежуток, значит наибольшее значение достигается при $$x=16$$:

   $$y_{\max}=y(16)=16^{\frac14}=2.$$

   Левая граница не входит, поэтому наименьшего значения нет.

   Ответ: $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=2.$$