Упр.38.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = корень(x), М (0; 1);
б) у = x^3/2 + 4, М(0; 0).

а) Для функции $$y=\sqrt{x}$$ производная равна

$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Пусть касательная проходит через точку касания $$K(a;\sqrt{a})$$ и точку $$M(0;1)$$. Тогда уравнение касательной:

$$y=\sqrt{a}+\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a).$$

Подставим точку $$M(0;1)$$:

$$1=\sqrt{a}-\frac{a}{2\sqrt{a}}=\sqrt{a}-\frac{\sqrt{a}}{2}=\frac{\sqrt{a}}{2}.$$

Отсюда

$$\sqrt{a}=2,\quad a=4.$$

Точка касания: $$K(4;2)$$. Тогда

$$y-1=\frac{2-1}{4-0}(x-0),$$

то есть

$$y=\frac{x}{4}+1.$$

б) Для функции $$y=x^{\frac{3}{2}}+4$$ производная равна

$$y’=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}.$$

Пусть точка касания имеет абсциссу $$a$$. Тогда касательная проходит через $$K(a;a^{\frac{3}{2}}+4)$$ и точку $$M(0;0)$$:

$$y=a^{\frac{3}{2}}+4+\frac{3}{2}\sqrt{a}(x-a).$$

Подставим точку $$M(0;0)$$:

$$0=a^{\frac{3}{2}}+4-\frac{3}{2}a^{\frac{3}{2}}=4-\frac{1}{2}a^{\frac{3}{2}}.$$

Следовательно,

$$a^{\frac{3}{2}}=8,\quad a=4.$$

Точка касания: $$K(4;12)$$. Уравнение касательной через точки $$M(0;0)$$ и $$K(4;12)$$:

$$y=\frac{12-0}{4-0}x=3x.$$

Ответ

а) $$y=\frac{x}{4}+1$$; б) $$y=3x$$.