Упр.38.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = 2/3 x корень(x) — 2x;
б) у = 3/2 x^2/3 — x.

а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{2}{3}x^{3/2}-2x’=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}-2=\sqrt{x}-2.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Исследуем знак производной:

$$\sqrt{x}-2=0 \;\Rightarrow\; \sqrt{x}=2 \;\Rightarrow\; x=4.$$

При $$0\le x<4$$ имеем $$\sqrt{x}-2<0,$$ значит, функция убывает. При $$x>4$$ имеем $$\sqrt{x}-2>0,$$ значит, функция возрастает.

Найдём значение функции в точке минимума:

$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot 4\sqrt{4}-2\cdot 4=\frac{2}{3}\cdot 8-8=\frac{16}{3}-\frac{24}{3}=-\frac{8}{3}.$$

б) $$y=\frac{3}{2}x^{2/3}-x$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Найдём стационарную точку:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0 \;\Rightarrow\; \sqrt[3]{x}=1 \;\Rightarrow\; x=1.$$

При $$0<x<1$$ производная положительна, а при $$x>1$$ отрицательна. Значит, на $$[0;1]$$ функция возрастает, а на $$[1;+\infty)$$ убывает.

Найдём значение функции в точке максимума:

$$y(1)=\frac{3}{2}\cdot 1^{2/3}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.$$

Ответ

а) Функция убывает на $$[0;4]$$ и возрастает на $$[4;+\infty)$$; $$x=4$$ — точка минимума, $$y_{\min}=-\frac{8}{3}.$$

б) Функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$[1;+\infty)$$; $$x=1$$ — точка максимума, $$y_{\max}=\frac{1}{2}.$$