Упр.38.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

у = g(x) с положительным направлением оси абсцисс в точке с абсциссой x0:
а) g(x) = 2/3 корень(4 — Зх), x0 = 1/3;
б) g(х) = -3(корень(2) + x)^-1/3, x0 = 1 — корень(2).

а) $$g(x)=\frac{2}{3}\sqrt{4-3x}, \quad x_0=\frac13.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2\sqrt{4-3x}}\cdot(-3)=-\frac{1}{\sqrt{4-3x}}.$$

Тогда

$$g’\!\left(\frac13\right)=-\frac{1}{\sqrt{4-3\cdot \frac13}}=-\frac{1}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}.$$

Следовательно,

$$\tan \alpha=-\frac{\sqrt3}{3}.$$

Угол наклона касательной лежит в промежутке $$0<\alpha<\pi$$, поэтому

$$\alpha=\pi-\arctan\frac{\sqrt3}{3}=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.$$

б) $$g(x)=-3(\sqrt2+x)^{-\frac13}, \quad x_0=1-\sqrt2.$$

Найдём производную:

$$g'(x)=-3\cdot\left(-\frac13\right)(\sqrt2+x)^{-\frac43}=(\sqrt2+x)^{-\frac43}=\frac{1}{\sqrt[3]{(\sqrt2+x)^4}}.$$

Тогда

$$g'(1-\sqrt2)=\frac{1}{\sqrt[3]{(\sqrt2+1-\sqrt2)^4}}=\frac{1}{\sqrt[3]{1}}=1.$$

Значит,

$$\tan \alpha=1,\quad \alpha=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{5\pi}{6}$$; б) $$\frac{\pi}{4}$$.