Упр.38.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

y =
система
1/x, если х < 0, х^-1/2, если х > 0.

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x<0,\\[4pt] x^{-1/2}, & x>0. \end{cases} $$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) При $$x<0$$ имеем график функции $$y=\dfrac{1}{x}$$ — это левая ветвь гиперболы.

2) При $$x>0$$ имеем функцию

$$ y=x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}, $$

её график расположен в первой четверти и убывает при $$x>0$$.

Объединяя эти части, получаем график функции: левая ветвь гиперболы при $$x<0$$ и кривая $$y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$$ при $$x>0$$.

Найдём основные свойства.

• Область определения: $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
• Функция не является ни чётной, ни нечётной.
• На промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;+\infty)$$ функция убывает.
• Вертикальная асимптота: $$x=0.$$
• Горизонтальная асимптота: $$y=0.$$
• Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
• Множество значений: $$E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Ответ

График состоит из двух частей: $$y=\dfrac{1}{x}$$ при $$x<0$$ и $$y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$$ при $$x>0$$.
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\quad E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$