Упр.37.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Известно, что f(x) = x^1/4, g(x) = х^-2. Докажите, что f(16x^8) = 2(g(x))^-1.
б) Известно, что f(x) = x^2/3, g(x) = x^-3. Докажите, что f(27x^9) = 9(g(x))^-2.

а) Пусть $$f(x)=x^{\frac14}, \quad g(x)=x^{-2}.$$ Тогда

$$f(16x^8)=(16x^8)^{\frac14}=16^{\frac14}\cdot (x^8)^{\frac14}=2\cdot x^2=2x^2.$$

С другой стороны,

$$2(g(x))^{-1}=2(x^{-2})^{-1}=2x^2.$$

Следовательно, $$f(16x^8)=2(g(x))^{-1}.$$

б) Пусть $$f(x)=x^{\frac23}, \quad g(x)=x^{-3}.$$ Тогда

$$f(27x^9)=(27x^9)^{\frac23}=27^{\frac23}\cdot (x^9)^{\frac23}=9\cdot x^6=9x^6.$$

С другой стороны,

$$9(g(x))^{-2}=9(x^{-3})^{-2}=9x^6.$$

Следовательно, $$f(27x^9)=9(g(x))^{-2}.$$

Ответ

а) $$f(16x^8)=2(g(x))^{-1}$$; б) $$f(27x^9)=9(g(x))^{-2}$$.