Упр.37.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) (a — b)/(a^1/2 — b^1/2) — (a^3/2 — b^3/2)/(a — b);
б) корень(x)/(x^1/2 + y^1/2) + корень(y)/(x^1/2 — y^1/2).

Подробный ответ

а) Преобразуем выражение:
$$\frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b}-\frac{a^{3/2}-b^{3/2}}{a-b}$$
Используем формулы:
$$a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b),$$
$$a^{3/2}-b^{3/2}=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b).$$
Тогда
$$ \frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b}-\frac{a^{3/2}-b^{3/2}}{a-b} = \frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a-\sqrt b} — \frac{(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} $$
$$ =\sqrt a+\sqrt b-\frac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt a+\sqrt b} $$
$$ =\frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2-(a+\sqrt{ab}+b)}{\sqrt a+\sqrt b} =\frac{a+2\sqrt{ab}+b-a-\sqrt{ab}-b}{\sqrt a+\sqrt b} =\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}. $$
б) Упростим выражение:
$$\frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}+\frac{\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}$$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{\sqrt x(\sqrt x-\sqrt y)}{(\sqrt x+\sqrt y)(\sqrt x-\sqrt y)} + \frac{\sqrt y(\sqrt x+\sqrt y)}{(\sqrt x+\sqrt y)(\sqrt x-\sqrt y)} $$
$$ = \frac{x-\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+y}{x-y} = \frac{x+y}{x-y}. $$