Упр.36.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (x (3)корень(x) — 1) / ((3)корень(x^2) — 1) — ((3)корень(x^2) — 1) / ((3)корень(x) + 1) = 4;

а) Обозначим $$t=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x^2}=t^2,$$ и уравнение принимает вид

$$\frac{xt-1}{t^2-1}-\frac{t^2-1}{t+1}=4.$$

Так как $$x=t^3,$$ то $$xt=t^4,$$ и после разложения на множители получаем

$$\frac{t^4-1}{t^2-1}-\frac{t^2-1}{t+1}=4.$$

Используем формулы сокращённого умножения:

$$t^4-1=(t^2-1)(t^2+1),$$

$$t^2-1=(t-1)(t+1).$$

Тогда

$$t^2+1-(t-1)=4,$$

$$t^2-t+2=4,$$

$$t^2-t-2=0,$$

$$\left(t-2\right)\left(t+1\right)=0.$$

Отсюда

$$t=2 \quad \text{или} \quad t=-1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sqrt[3]{x}=2 \Rightarrow x=8,$$

$$\sqrt[3]{x}=-1 \Rightarrow x=-1.$$

Проверим область допустимых значений: $$t^2-1\ne 0,$$ $$t+1\ne 0,$$ значит $$t\ne \pm 1.$$

Значение $$t=-1$$ не подходит, остаётся $$x=8.$$

Ответ

$$8$$

Ход решения

б) Обозначим $$t=\sqrt[3]{x}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{x^2}=t^2,$$ и уравнение перепишется так:

$$\frac{x+8}{t+2}+\frac{t^2-25}{t+5}=5.$$

Так как $$x=t^3,$$ то $$x+8=t^3+8=(t+2)(t^2-2t+4),$$

а также

$$t^2-25=(t-5)(t+5).$$

Тогда

$$t^2-2t+4+t-5=5,$$

$$t^2-t-6=0,$$

$$\left(t-3\right)\left(t+2\right)=0.$$

Отсюда

$$t=3 \quad \text{или} \quad t=-2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\sqrt[3]{x}=3 \Rightarrow x=27,$$

$$\sqrt[3]{x}=-2 \Rightarrow x=-8.$$

Но по ОДЗ $$t\ne -2,$$ значит $$x=-8$$ не подходит.

Ответ

$$27$$