Упр.32.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При каких размерах на его изготовление уйдёт наименьшее количество материала?

Пусть $$a$$ — сторона квадратного основания бака, $$h$$ — его высота. Тогда по условию объём бака равен $$32$$ л $$=32$$ дм$$^3$$, значит

$$a^2h=32, \qquad h=\frac{32}{a^2}.$$

Так как бак открытый, площадь материала равна площади дна и четырёх боковых стенок:

$$S=a^2+4ah.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(a)=a^2+4a\cdot \frac{32}{a^2}=a^2+\frac{128}{a}, \qquad a>0.$$

Найдём минимум функции:

$$S'(a)=2a-\frac{128}{a^2}=\frac{2a^3-128}{a^2}.$$

Приравниваем производную к нулю:

$$\frac{2a^3-128}{a^2}=0 \;\Rightarrow\; 2a^3-128=0 \;\Rightarrow\; a^3=64 \;\Rightarrow\; a=4.$$

Тогда

$$h=\frac{32}{4^2}=\frac{32}{16}=2.$$

Следовательно, наименьшее количество материала потребуется при размерах бака $$4$$ дм $$\times$$ $$4$$ дм $$\times$$ $$2$$ дм.

Ответ

$$4$$ дм $$\times$$ $$4$$ дм $$\times$$ $$2$$ дм.