Упр.32.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Верхняя точка памятника находится выше уровня глаз человека на а м, а верхняя точка постамента — на b м.
На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?

Обозначим через $$x$$ расстояние от человека до памятника. Тогда угол, под которым видна статуя, равен разности углов:

$$\alpha=\arctan\frac{a}{x}-\arctan\frac{b}{x}.$$

Найдём, при каком $$x$$ этот угол максимален. Рассмотрим функцию

$$f(x)=\arctan\frac{a}{x}-\arctan\frac{b}{x}, \qquad x>0.$$

Её производная:

$$ f'(x)= -\frac{a}{x^2+a^2}+\frac{b}{x^2+b^2} = \frac{b(x^2+a^2)-a(x^2+b^2)}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}. $$

Упростим числитель:

$$ b(x^2+a^2)-a(x^2+b^2) =(b-a)x^2+ab(a-b) =(a-b)(ab-x^2). $$

Значит,

$$ f'(x)=\frac{(a-b)(ab-x^2)}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}. $$

Так как $$a>b$$, то знак производной определяется выражением $$ab-x^2$$. Следовательно, функция возрастает при $$x<\sqrt{ab}$$ и убывает при $$x>\sqrt{ab}$$. Значит, максимальный угол достигается при

$$x=\sqrt{ab}.$$

Ответ

$$\sqrt{ab}$$