Упр.32.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Чему равна эта площадь, если:
а) а = 80, b = 60, h = 100;
б) а = 24, b = 8, h = 12?

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ ширину вырезаемого прямоугольника, тогда его высота равна $$y$$. Верхняя правая вершина прямоугольника лежит на боковой стороне трапеции, поэтому из подобия соответствующих прямоугольных треугольников получаем линейную зависимость:

$$y=h-\frac{h}{a-b}x.$$

Тогда площадь прямоугольника

$$S(x)=xy=x\left(h-\frac{h}{a-b}x\right)=hx-\frac{h}{a-b}x^2.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит максимум достигается в вершине:

$$x_0=\frac{h}{2\cdot \frac{h}{a-b}}=\frac{a-b}{2}.$$

Но при этом нужно учитывать, что ширина прямоугольника не может превышать меньшее основание трапеции. Поэтому:

если $$\frac{a}{2}\le b$$, то максимальная площадь равна $$bh$$;

если $$\frac{a}{2}>b$$, то максимум достигается при $$x=\frac{a}{2}$$ и

$$S_{\max}=\frac{a^2h}{4(a-b)}.$$

Теперь подставим данные.

а) $$a=80,\ b=60,\ h=100.$$

$$\frac{a}{2}=40<60,$$