Упр.32.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?

Обозначим длину второго основания трапеции через $$x$$, а высоту — через $$h$$.

Так как трапеция равнобедренная, то из прямоугольного треугольника получаем:

$$ 15^2=\left(\frac{x-15}{2}\right)^2+h^2 $$

Отсюда

$$ h^2=15^2-\left(\frac{x-15}{2}\right)^2 =\left(15-\frac{x-15}{2}\right)\left(15+\frac{x-15}{2}\right) =\frac{45-x}{2}\cdot\frac{15+x}{2}. $$

Площадь трапеции:

$$ S(x)=\frac12(x+15)h =\frac12(x+15)\sqrt{\frac{45-x}{2}\cdot\frac{15+x}{2}} =\frac14\sqrt{(45-x)(15+x)^3}. $$

Достаточно максимизировать функцию

$$ t(x)=(45-x)(15+x)^3, $$

так как $$S(x)=\frac14\sqrt{t(x)}$$ и корень — возрастающая функция.

Найдём производную:

$$ t'(x)=-(15+x)^3+3(45-x)(15+x)^2 =(15+x)^2\bigl(3(45-x)-(15+x)\bigr) =(15+x)^2(120-4x). $$

Критическая точка:

$$ (15+x)^2(120-4x)=0 \Rightarrow x=30. $$

При $$x<30$$ производная положительна, при $$x>30$$ — отрицательна, значит, при $$x=30$$ площадь максимальна.

Проверим значение:

$$ S_{\max}=S(30)=\frac14\sqrt{(45-30)(15+30)^3}. $$

Следовательно, наибольшая площадь будет при длине второго основания $$30$$ см.

Ответ

$$30\text{ см}$$