Упр.32.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10-11 класс, Мнемозина: 32.31 На графике функции у = корень(х) найдите точку М, ближайшую к точке А(4,5; 0). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10-11 mord10-11 32-31 109

Пусть точка $$M$$ на графике функции $$y=\sqrt{x}$$ имеет абсциссу $$x=a$$. Тогда

$$M(a;\sqrt{a}), \quad a \ge 0.$$

Найдём квадрат расстояния от точки $$A(4{,}5;0)$$ до точки $$M$$:

$$ AM^2=(a-4{,}5)^2+(\sqrt{a}-0)^2 $$

$$ AM^2=(a-4{,}5)^2+a=a^2-9a+20{,}25+a=a^2-8a+20{,}25. $$

Обозначим

$$f(a)=a^2-8a+20{,}25.$$

Это парабола, ветви которой направлены вверх, значит, минимум достигается в вершине:

$$ a=\frac{8}{2}=4. $$

Тогда

$$ y=\sqrt{4}=2. $$

Следовательно, ближайшая к точке $$A(4{,}5;0)$$ точка графика имеет координаты $$M(4;2)$$.

Ответ

$$M(4;2)$$