Упр.32.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
a) y = tg x, [-РїРё/3; -РїРё/6];
Р±) Сѓ = -3tg x, [РїРё; 4РїРё/3];
РІ) РЈ = -2tg x, [0; РїРё/6];
Р“) РЈ = 1/2 tg x, [-РїРё; -3РїРё/4].
а) $$y=\tg x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{3};-\frac{\pi}{6}\right]$$
$$y'(x)=(\tg x)’=\frac{1}{\cos^2 x}>0$$
Значит, функция возрастает на данном отрезке. Тогда
$$y_{\min}=y\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}$$
$$y_{\max}=y\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$
б) $$y=-3\tg x,\quad x\in\left[\pi;\frac{4\pi}{3}\right]$$
$$y'(x)=(-3\tg x)’=-\frac{3}{\cos^2 x}<0$$
Значит, функция убывает на данном отрезке. Тогда
$$y_{\max}=y(\pi)=-3\tg\pi=0$$
$$y_{\min}=y\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-3\tg\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-3\tg\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-3\sqrt{3}$$
в) $$y=-2\tg x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{6}\right]$$
$$y'(x)=(-2\tg x)’=-\frac{2}{\cos^2 x}<0$$
Функция убывает, значит
$$y_{\max}=y(0)=-2\tg 0=0$$
$$y_{\min}=y\left(\frac{\pi}{6}\right)=-2\tg\frac{\pi}{6}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$$
г) $$y=\frac{1}{2}\tg x,\quad x\in\left[-\pi;-\frac{3\pi}{4}\right]$$
$$y'(x)=\left(\frac{1}{2}\tg x\right)’=\frac{1}{2\cos^2 x}>0$$
Функция возрастает, значит
$$y_{\min}=y(-\pi)=\frac{1}{2}\tg(-\pi)=0$$
$$y_{\max}=y\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\tg\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$$
Ответ
а) $$y_{\min}=-\sqrt{3},\quad y_{\max}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$
б) $$y_{\min}=-3\sqrt{3},\quad y_{\max}=0$$
в) $$y_{\min}=-\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad y_{\max}=0$$
г) $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=\frac{1}{2}$$
