Упр.32.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?

Пусть стороны прямоугольника равны $$a$$ и $$b$$. Тогда по условию

$$ab=16.$$

Периметр прямоугольника

$$P=2(a+b).$$

Выразим одну сторону через другую: $$b=\dfrac{16}{a}$$, тогда

$$P(a)=2a+2\cdot \frac{16}{a}=2a+\frac{32}{a}, \quad a>0.$$

Найдём минимум этой функции:

$$P'(a)=2-\frac{32}{a^2}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$2-\frac{32}{a^2}=0$$

$$2=\frac{32}{a^2}$$

$$a^2=16$$

Так как $$a>0$$, получаем $$a=4$$.

Тогда

$$b=\frac{16}{4}=4.$$

Значит, наименьший периметр будет у квадрата со сторонами $$4$$ см и $$4$$ см.

Ответ

$$4\text{ см} \times 4\text{ см}$$