Упр.32.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) у = xкорень(x + 2);
б) у = xкорень(1 — 2x).

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=x\sqrt{x+2}.$$

Найдём область определения:

$$x+2\ge 0,$$

$$x\ge -2.$$

Найдём производную:

$$ y’=(x\sqrt{x+2})’=\sqrt{x+2}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}} =\frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}} =\frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}. $$

Критическая точка:

$$3x+4=0,\quad x=-\frac{4}{3}.$$

Так как при $$x>-2$$ знаменатель положителен, знак производной определяется числителем. Функция убывает на $$\left(-2;-\frac{4}{3}\right)$$ и возрастает на $$\left(-\frac{4}{3};+\infty\right).$$

Следовательно, наименьшее значение достигается при $$x=-\frac{4}{3}:$$

$$ y\left(-\frac{4}{3}\right)=-\frac{4}{3}\sqrt{-\frac{4}{3}+2} =-\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} =-\frac{4\sqrt6}{9}. $$

При $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to +\infty.$$ Значит, область значений:

$$E(y)=\left[-\frac{4\sqrt6}{9};+\infty\right).$$

б) Рассмотрим функцию $$y=x\sqrt{1-2x}.$$

Найдём область определения:

$$1-2x\ge 0,$$

$$x\le \frac12.$$

Найдём производную:

$$ y’=(x\sqrt{1-2x})’=\sqrt{1-2x}+x\cdot \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} =\frac{1-2x-x}{\sqrt{1-2x}} =\frac{1-3x}{\sqrt{1-2x}}. $$

Критическая точка:

$$1-3x=0,\quad x=\frac13.$$

На промежутке $$\left(-\infty;\frac13\right)$$ производная положительна, а на $$\left(\frac13;\frac12\right)$$ отрицательна. Значит, в точке $$x=\frac13$$ достигается максимум:

$$ y\left(\frac13\right)=\frac13\sqrt{1-2\cdot \frac13} =\frac13\sqrt{\frac13} =\frac{\sqrt3}{9}. $$

При $$x\to -\infty$$ имеем $$y\to -\infty.$$ Следовательно, область значений:

$$E(y)=\left(-\infty;\frac{\sqrt3}{9}\right].$$