Упр.32.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) у = 2х — корень(16х — 4), х принадлежит [1/4; 17/4];
б) у = 2корень(х — 1) — 0,5х, х принадлежит [1; 10].

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=2x-\sqrt{16x-4}, \quad x\in\left[\frac14;\frac{17}{4}\right].$$

Найдём производную:

$$ y’ = 2 — \frac{16}{2\sqrt{16x-4}} = 2 — \frac{8}{\sqrt{16x-4}} = \frac{2\sqrt{16x-4}-8}{\sqrt{16x-4}}. $$

Критическая точка:

$$ 2\sqrt{16x-4}-8=0, $$
$$ 2\sqrt{16x-4}=8, $$
$$ \sqrt{16x-4}=4, $$
$$ 16x-4=16, $$
$$ 16x=20, $$
$$ x=\frac54. $$

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

$$ y\left(\frac14\right)=2\cdot\frac14-\sqrt{16\cdot\frac14-4}=\frac12, $$
$$ y\left(\frac54\right)=2\cdot\frac54-\sqrt{16\cdot\frac54-4}=\frac52-4=-\frac32, $$
$$ y\left(\frac{17}{4}\right)=2\cdot\frac{17}{4}-\sqrt{16\cdot\frac{17}{4}-4}=\frac{17}{2}-8=\frac12. $$

Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac12,$$ а наименьшее — $$-\frac32.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=2\sqrt{x-1}-0{,}5x, \quad x\in[1;10].$$

Найдём производную:

$$ y’ = 2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-0{,}5=\frac{1}{\sqrt{x-1}}-\frac12=\frac{2-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x-1}}. $$

Критическая точка:

$$ 2-\sqrt{x-1}=0, $$
$$ \sqrt{x-1}=2, $$
$$ x-1=4, $$
$$ x=5. $$

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

$$ y(1)=2\sqrt{1-1}-0{,}5\cdot1=-0{,}5, $$
$$ y(5)=2\sqrt{5-1}-0{,}5\cdot5=4-2{,}5=1{,}5, $$
$$ y(10)=2\sqrt{10-1}-0{,}5\cdot10=6-5=1. $$

Значит, наименьшее значение равно $$-0{,}5,$$ а наибольшее — $$1{,}5.$$