Упр.32.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = х + 1/x, (-бесконечность; 0);
б) У = 3x / (x^2 + 3), [0; +бесконечность);
в) У = -2х — 1/(2x), (0; +бесконечность);
г) у = корень(2x + 6), [-3; +бесконечность).
а) $$y=x+\frac{1}{x}, \quad (-\infty;0).$$
Найдём производную:
$$y’ = 1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}.$$
На промежутке $$(-\infty;0)$$ функция возрастает при $$x\le -1$$ и убывает при $$-1<x<0$$, значит, наибольшее значение достигается в точке $$x=-1$$:
$$y(-1)=-1+\frac{1}{-1}=-2.$$
При $$x\to 0-$$ имеем $$y\to -\infty$$, поэтому наименьшего значения нет.
б) $$y=\frac{3x}{x^2+3}, \quad [0;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{3(x^2+3)-3x\cdot 2x}{(x^2+3)^2}=\frac{9-3x^2}{(x^2+3)^2}.$$
$$y’=0 \iff 9-3x^2=0 \iff x=\sqrt{3}.$$
На $$[0;\sqrt{3}]$$ функция возрастает, а на $$[\sqrt{3};+\infty)$$ убывает. Тогда
$$y(0)=0,\qquad y(\sqrt{3})=\frac{3\sqrt{3}}{3+3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$
При $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to 0$$, поэтому наименьшее значение равно $$0$$, а наибольшее — $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$.
в) $$y=-2x-\frac{1}{2x}, \quad (0;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=-2+\frac{1}{2x^2}=\frac{1-4x^2}{2x^2}.$$
$$y’=0 \iff 1-4x^2=0 \iff x=\frac{1}{2}.$$
На $$\left(0;\frac{1}{2}\right)$$ функция возрастает, а на $$\left(\frac{1}{2};+\infty\right)$$ убывает. Значит, наибольшее значение достигается при $$x=\frac{1}{2}$$:
$$y\left(\frac{1}{2}\right)=-2\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}}=-1-1=-2.$$
При $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to -\infty$$, поэтому наименьшего значения нет.
г) $$y=\sqrt{2x+6}-x, \quad [-3;+\infty).$$
Найдём производную:
$$y’=\frac{1}{\sqrt{2x+6}}-1=\frac{1-\sqrt{2x+6}}{\sqrt{2x+6}}.$$
$$y’=0 \iff 1-\sqrt{2x+6}=0 \iff \sqrt{2x+6}=1 \iff x=-\frac{5}{2}.$$
На $$[-3;-\frac{5}{2}]$$ функция возрастает, а на $$[-\frac{5}{2};+\infty)$$ убывает. Тогда
$$y(-3)=\sqrt{0}+3=3,$$
$$y\left(-\frac{5}{2}\right)=\sqrt{1}+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}.$$
При $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to -\infty$$, значит, наименьшего значения нет, а наибольшее равно $$\frac{7}{2}$$.
Ответ
а) $$y_{\max}=-2$$, $$y_{\min}$$ нет; б) $$y_{\min}=0$$, $$y_{\max}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; в) $$y_{\max}=-2$$, $$y_{\min}$$ нет; г) $$y_{\max}=\frac{7}{2}$$, $$y_{\min}$$ нет.
