Упр.31.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = -x^4 + 5x^2 — 4;
б) у = x^5 — 5x;
в) y = 2x^4 — 9x^2 + 7;
г) y = 5x^3 — Зx^5.
а) $$y=-x^4+5x^2-4$$
Функция определена при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$ и является чётной, так как
$$y(-x)=-(-x)^4+5(-x)^2-4=-x^4+5x^2-4=y(x).$$
Найдём производную:
$$y’=-4x^3+10x=2x(5-2x^2).$$
Критические точки:
$$2x(5-2x^2)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\pm \sqrt{\frac52}=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}.$$
Знаки производной дают:
$$y \text{ возрастает на } \left(-\infty;-\frac{\sqrt{10}}{2}\right]\cup\left[0;\frac{\sqrt{10}}{2}\right],$$
$$y \text{ убывает на } \left[-\frac{\sqrt{10}}{2};0\right]\cup\left[\frac{\sqrt{10}}{2};+\infty\right).$$
Экстремумы:
$$y(0)=-4,$$
$$y\!\left(\pm \frac{\sqrt{10}}{2}\right)=-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^4+5\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2-4=\frac94.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$-x^4+5x^2-4=0 \Rightarrow x^4-5x^2+4=0 \Rightarrow (x^2-1)(x^2-4)=0,$$
откуда $$x=\pm 1,\pm 2.$$
б) $$y=x^5-5x$$
Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$ Функция нечётная, так как
$$y(-x)=(-x)^5-5(-x)=-x^5+5x=-y(x).$$
Производная:
$$y’=5x^4-5=5(x^2-1)(x^2+1).$$
Критические точки: $$x=\pm 1.$$
Знаки производной:
$$y \text{ возрастает на } (-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$
$$y \text{ убывает на } [-1;1].$$
Экстремумы:
$$y(-1)=4,\qquad y(1)=-4.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$x^5-5x=x(x^4-5)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\pm \sqrt[4]{5}.$$
в) $$y=2x^4-9x^2+7$$
Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$ Функция чётная, так как
$$y(-x)=2(-x)^4-9(-x)^2+7=2x^4-9x^2+7=y(x).$$
Производная:
$$y’=8x^3-18x=2x(4x^2-9)=2x(2x-3)(2x+3).$$
Критические точки: $$x=0,\; x=\pm \frac32.$$
Знаки производной:
$$y \text{ возрастает на } \left(-\infty;-\frac32\right]\cup\left[0;\frac32\right],$$
$$y \text{ убывает на } \left[-\frac32;0\right]\cup\left[\frac32;+\infty\right).$$
Экстремумы:
$$y(0)=7,$$
$$y\!\left(\pm \frac32\right)=2\left(\frac32\right)^4-9\left(\frac32\right)^2+7=-\frac{25}{8}.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$2x^4-9x^2+7=0,\quad t=x^2,$$
$$2t^2-9t+7=0 \Rightarrow t=1 \text{ или } t=\frac72,$$
значит, $$x=\pm 1,\; x=\pm \sqrt{\frac72}.$$
г) $$y=5x^3-3x^5$$
Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$ Функция нечётная, так как
$$y(-x)=5(-x)^3-3(-x)^5=-5x^3+3x^5=-y(x).$$
Производная:
$$y’=15x^2-15x^4=15x^2(1-x^2)=15x^2(1-x)(1+x).$$
Критические точки: $$x=-1,\; x=0,\; x=1.$$
Знаки производной:
$$y \text{ убывает на } (-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$
$$y \text{ возрастает на } [-1;1].$$
Экстремумы:
$$y(-1)=-2,\qquad y(1)=2.$$
Точка $$x=0$$ — стационарная, но не точка экстремума.
Точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$5x^3-3x^5=x^3(5-3x^2)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\pm \sqrt{\frac53}.$$
Ответ
а) чётная функция; экстремумы: $$\left(0;-4\right)$$, $$\left(\pm \frac{\sqrt{10}}{2};\frac94\right)$$; нули: $$x=\pm1,\pm2$$.
б) нечётная функция; экстремумы: $$(-1;4)$$, $$(1;-4)$$; нули: $$x=0,\pm \sqrt[4]{5}$$.
в) чётная функция; экстремумы: $$(0;7)$$, $$\left(\pm \frac32;-\frac{25}{8}\right)$$; нули: $$x=\pm1,\pm \sqrt{\frac72}$$.
г) нечётная функция; экстремумы: $$(-1;-2)$$, $$(1;2)$$; нули: $$x=0,\pm \sqrt{\frac53}$$.
