Упр.31.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) У = Зx^2 — x^3;
б) у = -9х + x^3;
в) у = х^3 + Зx^2;
г) у = Зх — х^3.
а) $$y=3x^2-x^3$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$y'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)$$
$$y'(x)=0 \iff x=0 \text{ или } x=2$$
Знаки производной:
$$y’>0 \text{ при } x\in(0;2), \qquad y'<0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$
Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;+\infty)$$, возрастает на $$[0;2]$$.
$$y_{\min}=y(0)=0,\qquad y_{\max}=y(2)=4$$
Точки для построения графика: $$(-1;4),\ (1;2),\ (3;0)$$.
б) $$y=-9x+x^3$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция нечётная, так как $$y(-x)=-y(x)$$.
$$y'(x)=-9+3x^2=3(x^2-3)=3(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$$
$$y'(x)=0 \iff x=\pm\sqrt{3}$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt{3}]$$ и $$[\sqrt{3};+\infty)$$, убывает на $$[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$$.
$$y_{\max}=y(-\sqrt{3})=6\sqrt{3},\qquad y_{\min}=y(\sqrt{3})=-6\sqrt{3}$$
Точки для построения графика: $$(0;0),\ (1;-8),\ (3;0)$$.
в) $$y=x^3+3x^2$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$y'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$$
$$y'(x)=0 \iff x=-2 \text{ или } x=0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-2]$$ и $$[0;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0]$$.
$$y_{\max}=y(-2)=4,\qquad y_{\min}=y(0)=0$$
Точки для построения графика: $$(-3;0),\ (0;0),\ (1;4)$$.
г) $$y=3x-x^3$$
$$D(y)=(-\infty;+\infty)$$
Функция нечётная, так как $$y(-x)=-y(x)$$.
$$y'(x)=3-3x^2=3(1-x^2)=3(1-x)(1+x)$$
$$y'(x)=0 \iff x=\pm1$$
Функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty)$$, возрастает на $$[-1;1]$$.
$$y_{\min}=y(-1)=-2,\qquad y_{\max}=y(1)=2$$
Точки для построения графика: $$(0;0),\ (2;-2),\ (3;-18)$$.
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[2;+\infty)$$, возрастает на $$[0;2]$$, $$y_{\min}=0$$, $$y_{\max}=4$$.
б) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, функция возрастает на $$(-\infty;-\sqrt{3}]$$ и $$[\sqrt{3};+\infty)$$, убывает на $$[-\sqrt{3};\sqrt{3}]$$, $$y_{\max}=6\sqrt{3}$$, $$y_{\min}=-6\sqrt{3}$$.
в) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, функция возрастает на $$(-\infty;-2]$$ и $$[0;+\infty)$$, убывает на $$[-2;0]$$, $$y_{\max}=4$$, $$y_{\min}=0$$.
г) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$, функция убывает на $$(-\infty;-1]$$ и $$[1;+\infty)$$, возрастает на $$[-1;1]$$, $$y_{\min}=-2$$, $$y_{\max}=2$$.
