Упр.31.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 3cos пиx/2 + 5sin пиx/2 + 18x = 43 — x^5 — 22x^3;
б) sin пи/2 x — 2cos пиx — 8x = x^5 — 50.

1. а) Рассмотрим функции

   $$f(x)=3\cos\frac{\pi x}{2}+5\sin\frac{\pi x}{2}+18x,$$

   $$g(x)=46-x^5-22x^3.$$

   Тогда уравнение имеет вид $$f(x)=g(x).$$

   Найдём производные:

   $$f'(x)=-\frac{3\pi}{2}\sin\frac{\pi x}{2}+\frac{5\pi}{2}\cos\frac{\pi x}{2}+18,$$

   $$g'(x)=-5x^4-66x^2\le 0.$$

   Для функции $$f(x)$$ оценим производную:

   $$f'(x)\ge -\frac{3\pi}{2}\cdot 1-\frac{5\pi}{2}\cdot 1+18=18-4\pi>0.$$

   Значит, $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, поэтому уравнение может иметь не более одного решения.

   Проверим $$x=1$$:

   $$f(1)=3\cos\frac{\pi}{2}+5\sin\frac{\pi}{2}+18=0+5+18=23,$$

   $$g(1)=46-1-22=23.$$

   Следовательно, $$x=1$$ — решение уравнения.

2. б) Рассмотрим функции

   $$f(x)=\sin\frac{\pi x}{2}-2\cos(\pi x)-8x,$$

   $$g(x)=x^5-50.$$

   Тогда уравнение имеет вид $$f(x)=g(x).$$

   Найдём производные:

   $$f'(x)=\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi x}{2}+2\pi\sin(\pi x)-8,$$

   $$g'(x)=5x^4\ge 0.$$

   Оценим производную функции $$f(x)$$:

   $$f'(x)\le \frac{\pi}{2}\cdot 1+2\pi\cdot 1-8=\frac{5\pi}{2}-8<0.$$

   Значит, $$f(x)$$ убывает, а $$g(x)$$ возрастает, поэтому уравнение имеет не более одного решения.

   Проверим $$x=2$$:

   $$f(2)=\sin\pi-2\cos 2\pi-16=0-2\cdot 1-16=-18,$$

   $$g(2)=2^5-50=32-50=-18.$$

   Следовательно, $$x=2$$ — решение уравнения.

Ответ

а) $$x=1$$; б) $$x=2$$.