Упр.31.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) уравнение x^3 — 3х = а имеет один корень;
б) уравнение 3x — x^3 = a имеет два корня?

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$f(x)=x^3-3x.$$ Она определена при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$ и является нечётной, так как

$$f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-f(x).$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=1$$.

Исследуем знак производной:

при $$x\in(-\infty;-1)$$ имеем $$f'(x)>0$$, функция возрастает;
при $$x\in(-1;1)$$ имеем $$f'(x)<0$$, функция убывает;
при $$x\in(1;+\infty)$$ имеем $$f'(x)>0$$, функция возрастает.

Значит, в точке $$x=-1$$ достигается локальный максимум:

$$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2,$$

а в точке $$x=1$$ — локальный минимум:

$$f(1)=1^3-3\cdot1=1-3=-2.$$

Горизонтальная прямая $$y=a$$ пересекает график функции:

ровно в одной точке, если $$a<-2$$ или $$a>2$$;
в двух точках, если $$a=-2$$ или $$a=2$$.

Для функции $$3x-x^3=a$$ рассмотрим $$g(x)=3x-x^3=-f(x)$$. У неё те же экстремумы по модулю, но наоборот: локальный максимум равен $$2$$, локальный минимум равен $$-2$$. Поэтому горизонтальная прямая $$y=a$$ пересекает график функции в двух точках только при $$a=-2$$ или $$a=2$$.