Упр.31.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) Постройте график функции у = -x^4 + 2х^2 + 8.
б) При каких значениях параметра а уравнение -x^4 + 2x^2 + 8 = а не имеет корней?

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=-x^4+2x^2+8.$$

Область определения: $$x\in(-\infty;+\infty).$$

Функция чётная, так как

$$y(-x)=-(-x)^4+2(-x)^2+8=-x^4+2x^2+8=y(x).$$

Найдём производную:

$$y’=-4x^3+4x=-4x(x^2-1)=-4x(x-1)(x+1).$$

Критические точки: $$x=-1,\;0,\;1.$$

Исследуем знак производной:

$$ \begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty;-1) & -1 & (-1;0) & 0 & (0;1) & 1 & (1;+\infty)\\ \hline y’ & + & 0 & — & 0 & + & 0 & — \end{array} $$

Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1],$$ убывает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty).$$

Найдём значения в точках экстремума:

$$y(0)=8,$$

$$y(\pm1)=-1+2+8=9.$$

Следовательно, точки локального максимума: $$(-1;9)$$ и $$ (1;9),$$ точка локального минимума: $$ (0;8).$$

Для построения графика удобно отметить также точки пересечения с осью $$Ox$$:

$$ -x^4+2x^2+8=0 $$
$$ x^4-2x^2-8=0 $$
$$ t=x^2,\quad t^2-2t-8=0 $$
$$ (t-4)(t+2)=0 $$
$$ t=4 \Rightarrow x=\pm2. $$

Итак, график проходит через точки $$(-2;0),\;(-1;9),\;(0;8),\;(1;9),\;(2;0)$$ и симметричен относительно оси $$Oy.$$

б) Уравнение

$$-x^4+2x^2+8=a$$

не имеет корней тогда и только тогда, когда прямая $$y=a$$ не пересекает график функции. Так как наибольшее значение функции равно $$9,$$ то пересечений нет при

$$a>9.$$