Упр.31.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;
б) функция возрастает при х < = 1 и при х > = 5 и убывает на промежутке [1; 5];
точка х = 1 является критической, а точка х = 5 — стационарной.

1. Чтобы функция имела две точки максимума, одну точку минимума и была ограниченной, можно взять, например, такую функцию:

   $$ f(x)= \begin{cases} x^2, & -1 \le x \le 1,\\ \dfrac{1}{x^2}, & x<-1 \text{ или } x>1. \end{cases} $$

   У этой функции максимумы достигаются при $$x=-1$$ и $$x=1$$, минимум — при $$x=0$$. Функция ограничена сверху и снизу.

2. Чтобы функция возрастала при $$x<1$$ и $$x>5$$, убывала на промежутке $$[1;5]$$, причём точка $$x=1$$ была критической, а точка $$x=5$$ — стационарной, можно взять, например:

   $$ f(x)= \begin{cases} x+3, & x<1,\\ \dfrac{(x-5)^2}{4}, & x\ge 1. \end{cases} $$

   На промежутке $$x<1$$ функция возрастает, в точке $$x=1$$ происходит смена возрастания на убывание, значит $$x=1$$ — критическая точка. На отрезке $$[1;5]$$ функция убывает, а при $$x>5$$ снова возрастает. В точке $$x=5$$ производная равна нулю, значит это стационарная точка.

Ответ

$$ \begin{cases} x^2, & -1 \le x \le 1,\\ \dfrac{1}{x^2}, & x<-1 \text{ или } x>1 \end{cases} \qquad \begin{cases} x+3, & x<1,\\ \dfrac{(x-5)^2}{4}, & x\ge 1 \end{cases} $$