Упр.30.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) y = x — 2корень(x — 2);
б) y = 4корень(2x — 1) — x.

Подробный ответ

а) $$y=x-2\sqrt{x-2}$$

Область допустимых значений:

$$x-2\ge 0,\quad x\ge 2$$

Найдём производную:

$$ y’ = 1 — 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-2}} = 1 — \frac{1}{\sqrt{x-2}} = \frac{\sqrt{x-2}-1}{\sqrt{x-2}} $$

Критические точки:

$$ y’=0 \iff \sqrt{x-2}-1=0 \iff \sqrt{x-2}=1 \iff x=3 $$

При $$x=2$$ производная не существует, но эта точка принадлежит области определения.

Исследуем знак производной:

$$ \begin{cases} 2<x<3 & \Rightarrow y'<0,\\ x>3 & \Rightarrow y’>0. \end{cases} $$

Значит, функция убывает на $$[2;3]$$ и возрастает на $$[3;+\infty)$$. Следовательно, в точке $$x=3$$ — минимум, а в точке $$x=2$$ — максимум на границе области определения.

б) $$y=4\sqrt{2x-1}-x$$

Область допустимых значений:

$$2x-1\ge 0,\quad x\ge \frac12$$

Найдём производную:

$$ y’ = 4\cdot \frac{2}{2\sqrt{2x-1}} — 1 = \frac{4}{\sqrt{2x-1}} — 1 = \frac{4-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-1}} $$

Критическая точка:

$$ y’=0 \iff 4-\sqrt{2x-1}=0 \iff \sqrt{2x-1}=4 \iff 2x-1=16 \iff x=\frac{17}{2} $$

При $$x=\frac12$$ производная не существует, но эта точка принадлежит области определения.

Исследуем знак производной:

$$ \begin{cases} \frac12<x<\frac{17}{2} & \Rightarrow y’>0,\\ x>\frac{17}{2} & \Rightarrow y'<0. \end{cases} $$

Значит, функция возрастает на $$\left[\frac12;\frac{17}{2}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{17}{2};+\infty\right)$$. Следовательно, в точке $$x=\frac{17}{2}$$ — максимум, а в точке $$x=\frac12$$ — минимум на границе области определения.