Упр.30.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) y = -5х^5 + Зх^3;
б) y = х^4 — 4х^3 — 8х^2 + 13;
в) у = х^4 — 50х^2;
г) у = 2x^5 + 5x^4 — 10x^3 + 3.

1. а) $$y=-5x^5+3x^3$$

   $$y’=-25x^4+9x^2=x^2(9-25x^2)=x^2(3-5x)(3+5x)$$

   Критические точки: $$x=0,\; x=\pm \frac35$$.

   Знак производной меняется так: при $$x=-\frac35$$ — с «−» на «+», при $$x=\frac35$$ — с «+» на «−».
   Значит, $$x=-\frac35$$ — точка минимума, $$x=\frac35$$ — точка максимума.
   В точке $$x=0$$ экстремума нет.

2. б) $$y=x^4-4x^3-8x^2+13$$

   $$y’=4x^3-12x^2-16x=4x(x^2-3x-4)=4x(x+1)(x-4)$$

   Критические точки: $$x=-1,\;0,\;4$$.

   По знакам производной:
   $$x=-1$$ — точка минимума, $$x=0$$ — точка максимума, $$x=4$$ — точка минимума.

3. в) $$y=x^4-50x^2$$

   $$y’=4x^3-100x=4x(x^2-25)=4x(x-5)(x+5)$$

   Критические точки: $$x=-5,\;0,\;5$$.

   По знакам производной:
   $$x=-5$$ и $$x=5$$ — точки минимума, $$x=0$$ — точка максимума.

4. г) $$y=2x^5+5x^4-10x^3+3$$

   $$y’=10x^4+20x^3-30x^2=10x^2(x^2+2x-3)=10x^2(x+3)(x-1)$$

   Критические точки: $$x=-3,\;0,\;1$$.

   По знакам производной:
   $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=1$$ — точка минимума, в точке $$x=0$$ экстремума нет.

Ответ

а) $$x=-\frac35$$ — минимум, $$x=\frac35$$ — максимум;
б) $$x=-1,\;4$$ — минимумы, $$x=0$$ — максимум;
в) $$x=-5,\;5$$ — минимумы, $$x=0$$ — максимум;
г) $$x=-3$$ — максимум, $$x=1$$ — минимум.