Упр.30.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) чётная функция;
б) нечётная функция;
в) периодическая функция;
г) монотонная функция?

Подробный ответ

а) Чётная функция. Может. Например, $$y=x^2$$ — чётная функция, так как $$y(-x)=(-x)^2=x^2=y(x)$$, и у неё ровно одна точка экстремума: $$x=0$$ — точка минимума.
б) Нечётная функция. Не может. Если у нечётной функции есть экстремум в точке $$x=a$$, то из нечётности следует наличие симметричного экстремума в точке $$x=-a$$. Значит, экстремумов либо нет, либо их не меньше двух. Одна точка экстремума невозможна.
в) Периодическая функция. Не может. Если у периодической функции есть экстремум в точке $$x=a$$, то из периодичности экстремумы повторяются в точках $$x=a+kT$$, где $$k\in\mathbb{Z}$$. Следовательно, экстремумов либо нет, либо бесконечно много. Ровно один экстремум невозможен.
г) Монотонная функция. Не может. Монотонная функция не имеет точек экстремума, так как в каждой точке сохраняет характер возрастания или убывания.