Упр.30.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) При каких значениях параметра а функция у = 2x^3 — 3x^2 + 7
возрастает в интервале (a — 1; а + 1)?
б) При каких значениях параметра а функция у = -x^3 + 3x + 5
убывает в интервале (а; а + 1/2)?

а) Найдём производную функции:

$$y=2x^3-3x^2+7$$

$$y'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$$

Функция возрастает там, где $$y'(x)\ge 0$$, то есть при

$$x\le 0 \text{ или } x\ge 1.$$

Чтобы функция возрастала на всём интервале $$(a-1;\,a+1),$$ этот интервал должен целиком лежать в области возрастания. Значит, либо

$$a+1\le 0,$$

либо

$$a-1\ge 1.$$

Отсюда получаем:

$$a\le -1 \quad \text{или} \quad a\ge 2.$$

б) Найдём производную функции:

$$y=-x^3+3x+5$$

$$y'(x)=-3x^2+3=3(1-x^2)$$

Функция убывает там, где $$y'(x)\le 0,$$ то есть при

$$x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$

Чтобы функция убывала на всём интервале $$\left(a;\,a+\frac12\right),$$ этот интервал должен целиком лежать в области убывания. Возможны два случая:

$$a+\frac12\le -1$$

или

$$a\ge 1.$$

Из первого неравенства:

$$a\le -\frac32.$$

Итак,

$$a\le -\frac32 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty;\,-1]\cup[2;\,+\infty)$$

б) $$a\in(-\infty;\,-\frac32]\cup[1;\,+\infty)$$