Упр.30.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) у = 4х / (4x + 1) возрастает на (-1/4; +бесконечность);
б) у = (2x — 13) / (x — 5) возрастает на (-бесконечность; 5).

Подробный ответ

а) Рассмотрим функцию $$y=\frac{4x}{4x+1}.$$ Найдём производную:

$$ y'(x)=\frac{(4x)'(4x+1)-4x(4x+1)’}{(4x+1)^2} =\frac{4(4x+1)-4x\cdot 4}{(4x+1)^2} =\frac{16x+4-16x}{(4x+1)^2} =\frac{4}{(4x+1)^2}. $$

Так как $$\frac{4}{(4x+1)^2}>0$$ при всех $$x\neq -\frac14,$$ то функция возрастает на каждом промежутке своей области определения. В частности, она возрастает на $$\left(-\frac14;+\infty\right).$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\frac{2x-13}{x-5}.$$ Найдём производную:

$$ y'(x)=\frac{(2x-13)'(x-5)-(2x-13)(x-5)’}{(x-5)^2} =\frac{2(x-5)-(2x-13)\cdot 1}{(x-5)^2} =\frac{2x-10-2x+13}{(x-5)^2} =\frac{3}{(x-5)^2}. $$

Так как $$\frac{3}{(x-5)^2}>0$$ при всех $$x\neq 5,$$ то функция возрастает на каждом промежутке своей области определения. В частности, она возрастает на $$(-\infty;5).$$