Упр.30.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = 7х — cos 2x возрастает на (-бесконечность; +бесконечность);
б) у = 3tg x возрастает на (-пи/2; пи/2);
в) у = -ctg x возрастает на (0; пи);
г) у = 10x + sin 3x возрастает на (-бесконечность; +бесконечность).

1. Для функции $$y=7x-\cos 2x$$ найдём производную:

   $$y'(x)=(7x)’-(\cos 2x)’=7+2\sin 2x.$$

   Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то

   $$y'(x)=7+2\sin 2x\ge 7-2=5>0.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$

2. Для функции $$y=3\tg x$$ имеем:

   $$y'(x)=3(\tg x)’=3\cdot \frac{1}{\cos^2 x}.$$

   На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ значение $$\cos x\ne 0,$$ значит $$\cos^2 x>0,$$ поэтому

   $$y'(x)>0.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right).$$

3. Для функции $$y=-\ctg x$$ найдём производную:

   $$y'(x)=- (\ctg x)’=-\left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)=\frac{1}{\sin^2 x}.$$

   На промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ имеем $$\sin x\ne 0,$$ значит $$\sin^2 x>0,$$ поэтому

   $$y'(x)>0.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$\left(0;\pi\right).$$

4. Для функции $$y=10x+\sin 3x$$:

   $$y'(x)=(10x)’+(\sin 3x)’=10+3\cos 3x.$$

   Так как $$-1\le \cos 3x\le 1,$$ то

   $$y'(x)=10+3\cos 3x\ge 10-3=7>0.$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;+\infty)$$; б) $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$; в) $$\left(0;\pi\right)$$; г) $$(-\infty;+\infty).$$