Упр.30.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = 1 / (х + 3);
б) у = (3x — 1) / (3x + 1);
в) у = 2/x + 1;
г) y = (1 — 2x) / (3 + 2x).

1. а) $$y=\frac{1}{x+3}$$

   Найдём производную:

   $$y’=\left(\frac{1}{x+3}\right)’=-\frac{1}{(x+3)^2}$$

   Так как $$\frac{1}{(x+3)^2}>0$$ при всех $$x\neq -3$$, то

   $$y’<0.$$

   Следовательно, функция убывает на промежутках $$(-\infty;-3)$$ и $$(-3;+\infty).$$

2. б) $$y=\frac{3x-1}{3x+1}$$

   Найдём производную по формуле производной частного:

   $$ y’=\frac{(3x-1)'(3x+1)-(3x-1)(3x+1)’}{(3x+1)^2} $$

   $$ y’=\frac{3(3x+1)-3(3x-1)}{(3x+1)^2} =\frac{6}{(3x+1)^2} $$

   Так как $$\frac{6}{(3x+1)^2}>0$$ при всех $$x\neq -\frac13$$, то функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-\frac13)$$ и $$(-\frac13;+\infty).$$

3. в) $$y=\frac{2}{x}+1$$

   Найдём производную:

   $$y’=\left(\frac{2}{x}+1\right)’=-\frac{2}{x^2}$$

   При всех $$x\neq 0$$ имеем $$y’<0$$, значит функция убывает на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;+\infty).$$

4. г) $$y=\frac{1-2x}{3+2x}$$

   Найдём производную:

   $$ y’=\frac{(1-2x)'(3+2x)-(1-2x)(3+2x)’}{(3+2x)^2} $$

   $$ y’=\frac{-2(3+2x)-2(1-2x)}{(3+2x)^2} =\frac{-8}{(3+2x)^2} $$

   Так как $$\frac{-8}{(3+2x)^2}<0$$ при всех $$x\neq -\frac32$$, то функция убывает на промежутках $$(-\infty;-\frac32)$$ и $$(-\frac32;+\infty).$$

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;-3)$$ и $$(-3;+\infty)$$;
б) возрастает на $$(-\infty;-\frac13)$$ и $$(-\frac13;+\infty)$$;
в) убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;+\infty)$$;
г) убывает на $$(-\infty;-\frac32)$$ и $$(-\frac32;+\infty).$$