Упр.30.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = х^3 + 2х;
б) у = 60 + 45х — Зх^2 — х^3;
в) у = 2х^3 — Зх^2 — 36х + 40;
г) у = -х^5 + 5

1. а) $$y=x^3+2x$$

   Найдём производную:

   $$y’=(x^3+2x)’=3x^2+2.$$

   Так как $$3x^2+2>0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$, функция возрастает на всей числовой прямой.

2. б) $$y=60+45x-3x^2-x^3$$

   Найдём производную:

   $$y’=(60+45x-3x^2-x^3)’=45-6x-3x^2=-3(x^2+2x-15)=-3(x+5)(x-3).$$

   Исследуем знак производной:

   $$y’>0 \iff -3(x+5)(x-3)>0 \iff (x+5)(x-3)<0,$$

   откуда

   $$-5<x<3.$$

   Значит, функция возрастает на $$[-5;3]$$ и убывает на $$(-\infty;-5]\cup[3;+\infty).$$

3. в) $$y=2x^3-3x^2-36x+40$$

   Найдём производную:

   $$y’=(2x^3-3x^2-36x+40)’=6x^2-6x-36=6(x^2-x-6)=6(x-3)(x+2).$$

   Исследуем знак производной:

   $$y’>0 \iff 6(x-3)(x+2)>0 \iff (x-3)(x+2)>0.$$

   Следовательно,

   $$x<-2 \quad \text{или} \quad x>3.$$

   Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$$ и убывает на $$[-2;3].$$

4. г) $$y=-x^5+5x$$

   Найдём производную:

   $$y’=(-x^5+5x)’=-5x^4+5=-5(x^4-1)=-5(x^2-1)(x^2+1)=-5(x-1)(x+1)(x^2+1).$$

   Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется множителем $$-(x-1)(x+1).$$

   Получаем, что функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$

Ответ

а) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$;

б) возрастает на $$[-5;3]$$, убывает на $$(-\infty;-5]\cup[3;+\infty)$$;

в) возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$$, убывает на $$[-2;3]$$;

г) возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$.