Упр.29.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) При каком значении параметра p касательная к графику
функции у = x^3 — pх в точке х = 1 проходит через точку (2; 3)?
б) При каком значении параметра p касательная к графику
функции у = х^3 + рх^2 в точке х = 1 проходит через точку (3; 2)?

1. а) Для функции $$f(x)=x^3-px$$ найдём значение функции и производной в точке $$x=1$$:

   $$f(1)=1-p,$$

   $$f'(x)=3x^2-p,\qquad f'(1)=3-p.$$

   Уравнение касательной в точке $$x=1$$:

   $$y=f(1)+f'(1)(x-1)=(1-p)+(3-p)(x-1).$$

   Упростим:

   $$y=3x-2-px.$$

   Так как касательная проходит через точку $$ (2;3) $$, подставим её координаты:

   $$3=3\cdot 2-2-p\cdot 2,$$

   $$3=4-2p,$$

   $$2p=1,$$

   $$p=\frac12.$$

2. б) Для функции $$f(x)=x^3+px^2$$ найдём значение функции и производной в точке $$x=1$$:

   $$f(1)=1+p,$$

   $$f'(x)=3x^2+2px,\qquad f'(1)=3+2p.$$

   Уравнение касательной в точке $$x=1$$:

   $$y=f(1)+f'(1)(x-1)=(1+p)+(3+2p)(x-1).$$

   Упростим:

   $$y=2px+3x-p-2.$$

   Так как касательная проходит через точку $$ (3;2) $$, подставим её координаты:

   $$2=2p\cdot 3+3\cdot 3-p-2,$$

   $$2=5p+7,$$

   $$5p=-5,$$

   $$p=-1.$$

Ответ

а) $$\frac12$$; б) $$-1$$.