Упр.29.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = х^2 — |2х — 6|,
проведённых через точки с абсциссами х = 5, х = -5.
б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = х^3 + |х — 1|,
проведённых через точки с абсциссами х = 2, х = -2.

а) $$y=x^2-|2x-6|.$$

При $$x=5$$ имеем $$2x-6>0,$$ значит

$$y=x^2-(2x-6)=x^2-2x+6,$$

$$y’=2x-2.$$

Тогда

$$y(5)=25-10+6=21,$$

$$y'(5)=10-2=8.$$

Уравнение касательной:

$$y-21=8(x-5),$$

$$y=8x-19.$$

При $$x=-5$$ имеем $$2x-6<0,$$ значит

$$y=x^2+(2x-6)=x^2+2x-6,$$

$$y’=2x+2.$$

Тогда

$$y(-5)=25-10-6=9,$$

$$y'(-5)=-10+2=-8.$$

Уравнение касательной:

$$y-9=-8(x+5),$$

$$y=-8x-31.$$

Найдём точку пересечения касательных:

$$8x-19=-8x-31,$$

$$16x=-12,$$

$$x=-\frac34.$$

Подставим в любое из уравнений:

$$y=8\left(-\frac34\right)-19=-6-19=-25.$$

Точка пересечения: $$\left(-\frac34;\,-25\right).$$

б) $$y=x^3+|x-1|.$$

При $$x=2$$ имеем $$x-1>0,$$ значит

$$y=x^3+x-1,$$

$$y’=3x^2+1.$$

Тогда

$$y(2)=8+2-1=9,$$

$$y'(2)=12+1=13.$$

Уравнение касательной:

$$y-9=13(x-2),$$

$$y=13x-17.$$

При $$x=-2$$ имеем $$x-1<0,$$ значит

$$y=x^3-x+1,$$

$$y’=3x^2-1.$$

Тогда

$$y(-2)=-8+2+1=-5,$$

$$y'(-2)=12-1=11.$$

Уравнение касательной:

$$y+5=11(x+2),$$

$$y=11x+17.$$

Найдём точку пересечения касательных:

$$13x-17=11x+17,$$

$$2x=34,$$

$$x=17.$$

Подставим в любое из уравнений:

$$y=13\cdot 17-17=204.$$

Точка пересечения: $$\left(17;\,204\right).$$

Ответ

а) $$\left(-\frac34;\,-25\right);$$ б) $$\left(17;\,204\right).$$