Упр.29.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) На оси y взята точка В, из неё проведены касательные к графику функции у = 3 — 1/2 х^2.
Известно, что эти касательные образуют между собой угол 90. Найдите координаты точки В.
б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции у = 0,5х^2 — 2,5,
которые пересекаются под углом 90 в точке, лежащей на оси у.

а) Пусть точка касания имеет абсциссу $$x=a.$$ Тогда для функции $$f(x)=3-\frac12x^2$$

$$f(a)=3-\frac12a^2,$$
$$f'(x)=-x,\quad f'(a)=-a.$$

Уравнение касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=3-\frac12a^2-a(x-a)=3+\frac12a^2-ax.$$

Значит, угловой коэффициент касательной равен $$k=-a.$$

Пусть касательные проведены в точках с абсциссами $$a_1$$ и $$a_2.$$ Так как они пересекаются в точке на оси $$y,$$ их ординаты при $$x=0$$ равны:

$$3+\frac12a_1^2=3+\frac12a_2^2,$$
$$a_1^2=a_2^2.$$

Так как угол между касательными равен $$90^\circ,$$ то

$$k_1k_2=-1,$$
$$(-a_1)(-a_2)=-1,$$
$$a_1a_2=-1.$$

Из системы

$$a_1^2=a_2^2,\quad a_1a_2=-1$$

получаем $$a_1=\pm1,\ a_2=\mp1.$$ Тогда ордината точки пересечения касательных:

$$y=3+\frac12\cdot1^2=\frac72=3{,}5.$$

Следовательно, $$B(0;3{,}5).$$

б) Для функции $$f(x)=0{,}5x^2-2{,}5$$

$$f'(x)=x.$$

Пусть точка касания имеет абсциссу $$x=a.$$ Тогда уравнение касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)=0{,}5a^2-2{,}5+a(x-a)=ax-0{,}5a^2-2{,}5.$$

Значит, угловой коэффициент касательной равен $$k=a.$$

Пусть касательные пересекаются в точке на оси $$y.$$ Тогда их свободные члены равны:

$$-0{,}5a_1^2-2{,}5=-0{,}5a_2^2-2{,}5,$$
$$a_1^2=a_2^2.$$

Так как угол между ними равен $$90^\circ,$$ то

$$k_1k_2=-1,$$
$$a_1a_2=-1.$$

Отсюда $$a_1=\pm1,\ a_2=\mp1.$$ Подставим:

$$y=x-0{,}5\cdot1^2-2{,}5=x-3,$$
$$y=-x-0{,}5\cdot1^2-2{,}5=-x-3.$$

Ответ

а) $$B(0;3{,}5)$$; б) $$y=x-3$$ и $$y=-x-3.$$