Упр.29.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 9/8.

Пусть точка касания имеет абсциссу $$x_0<0.$$ Тогда для функции $$y=\frac{1}{x^2}$$

$$y_0=\frac{1}{x_0^2}, \qquad y’=-\frac{2}{x^3}, \qquad k=y'(x_0)=-\frac{2}{x_0^3}.$$

Уравнение касательной:

$$y-\frac{1}{x_0^2}=-\frac{2}{x_0^3}(x-x_0).$$

Найдём отрезки, которые эта прямая отсекает на осях координат.

При $$y=0$$ получаем абсциссу пересечения с осью $$x$$:

$$0-\frac{1}{x_0^2}=-\frac{2}{x_0^3}(x-x_0),$$

откуда

$$x=\frac{3x_0}{2}.$$

При $$x=0$$ получаем ординату пересечения с осью $$y$$:

$$y=\frac{1}{x_0^2}+\frac{2}{x_0^2}=\frac{3}{x_0^2}.$$

Площадь треугольника, отсекаемого осями координат, равна

$$S=\frac12 \left|\frac{3x_0}{2}\right|\cdot \left|\frac{3}{x_0^2}\right|=\frac{9}{4|x_0|}.$$

По условию $$S=\frac98,$$ значит

$$\frac{9}{4|x_0|}=\frac98 \quad \Rightarrow \quad |x_0|=2.$$

Так как $$x_0<0,$$ то $$x_0=-2.$$ Тогда

$$y_0=\frac{1}{(-2)^2}=\frac14, \qquad k=-\frac{2}{(-2)^3}=\frac14.$$

Уравнение касательной:

$$y-\frac14=\frac14(x+2),$$

$$y=\frac14x+\frac34.$$

Ответ

$$y=\frac14x+\frac34$$