Упр.29.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x) = -х^2 — 7х + 8, В(1; 1);
б) f(x) = -х^2 — 7х + 8, В(0; 9).

Касательная к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$a$$ задаётся формулой

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Для функции $$f(x)=-x^2-7x+8$$ найдём производную:

$$f'(x)=-2x-7.$$

а) $$B(1;1)$$

Точка касания $$A(a;f(a))$$ должна лежать на касательной, проходящей через точку $$B(1;1)$$. Поэтому подставим $$x=1$$, $$y=1$$ в уравнение касательной:

$$1=f(a)+f'(a)(1-a).$$

Подставим $$f(a)=-a^2-7a+8$$ и $$f'(a)=-2a-7$$:

$$ 1=(-a^2-7a+8)+(-2a-7)(1-a). $$

Раскроем скобки:

$$ 1=-a^2-7a+8-2a-7+2a^2+7a $$

$$ 1=a^2-2a+1. $$

$$ a^2-2a=0 $$

$$ a(a-2)=0 $$

$$ a=0 \text{ или } a=2. $$

Найдём уравнения касательных:

При $$a=0$$:

$$y=f(0)+f'(0)(x-0)=8-7x.$$

При $$a=2$$:

$$y=f(2)+f'(2)(x-2)=(-4-14+8)+(-11)(x-2)=12-11x.$$

б) $$B(0;9)$$

Аналогично подставим $$x=0$$, $$y=9$$:

$$9=f(a)+f'(a)(0-a).$$

Подставим значения:

$$ 9=(-a^2-7a+8)+(-2a-7)(-a). $$

Упростим:

$$ 9=-a^2-7a+8+2a^2+7a $$

$$ 9=a^2+8. $$

$$ a^2=1 $$

$$ a=\pm 1. $$

Найдём касательные:

При $$a=1$$:

$$y=f(1)+f'(1)(x-1)=0-9(x-1)=9-9x.$$

При $$a=-1$$:

$$y=f(-1)+f'(-1)(x+1)=14-5(x+1)=9-5x.$$

Ответ

а) $$y=8-7x$$, $$y=12-11x$$;

б) $$y=9-5x$$, $$y=9-9x$$.