Упр.29.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

которая образует с осью x заданный угол а, если:
а) f(x) = 1/корень(3) x^3 — 3корень(3)x, a = 60;
б) f(x) = 4/корень(3) x — корень(3)/3 x^3, a = 30.

а) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x^3-3\sqrt{3}x,\quad \alpha=60^\circ.$$

Угол наклона касательной задаёт её угловой коэффициент:

$$k=\tan\alpha=\tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 3x^2-3\sqrt{3}=\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}.$$

Приравняем её к $$\sqrt{3}$$:

$$\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}=\sqrt{3}$$

$$x^2-3=1$$

$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$

Найдём значения функции:

$$f(-2)=\frac{1}{\sqrt{3}}(-2)^3-3\sqrt{3}(-2)=-\frac{8}{\sqrt{3}}+6\sqrt{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3},$$

$$f(2)=\frac{1}{\sqrt{3}}2^3-3\sqrt{3}\cdot 2=\frac{8}{\sqrt{3}}-6\sqrt{3}=-\frac{10\sqrt{3}}{3}.$$

Уравнение касательной:

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

Для $$x_0=-2$$:

$$y=\frac{10\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}(x+2)=\sqrt{3}x+\frac{16\sqrt{3}}{3}.$$

Для $$x_0=2$$:

$$y=-\frac{10\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}(x-2)=\sqrt{3}x-\frac{16\sqrt{3}}{3}.$$

б) $$f(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x^3,\quad \alpha=30^\circ.$$

Тогда

$$k=\tan 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 3x^2=\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}x^2.$$

Приравняем к $$\frac{\sqrt{3}}{3}$$:

$$\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}x^2=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

$$4-3x^2=1$$

$$3x^2=3,\quad x=\pm 1.$$

Найдём значения функции:

$$f(-1)=\frac{4}{\sqrt{3}}(-1)-\frac{\sqrt{3}}{3}(-1)^3=-\sqrt{3},$$

$$f(1)=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}.$$

Уравнения касательных:

Для $$x_0=-1$$:

$$y=-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}(x+1)=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

Для $$x_0=1$$:

$$y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}(x-1)=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ

а) $$y=\sqrt{3}x+\frac{16\sqrt{3}}{3}$$; $$y=\sqrt{3}x-\frac{16\sqrt{3}}{3}$$.

б) $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}$$; $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$$.