Упр.28.48 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) При каких значениях а касательные к графикам функций у = x^7 и у = x^8
в точке x = а не имеют общих точек?
б) При каких значениях а касательные к графикам функций у = корень(x) и у = 2корень(х + 8)
в точке x = а не имеют общих точек?

1. а) Для функций $$y=x^7$$ и $$y=x^8$$ найдём производные:

   $$f'(x)=7x^6,\qquad g'(x)=8x^7.$$

   Касательные в точке $$x=a$$ параллельны, если их угловые коэффициенты равны:

   $$7a^6=8a^7.$$

   Отсюда

   $$a^6(7-8a)=0,$$

   значит, $$a=0$$ или $$a=\frac78.$$

   При $$a=0$$ обе касательные проходят через начало координат, поэтому имеют общую точку. Следовательно, подходит только

   $$a=\frac78.$$

2. б) Для функций $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=2\sqrt{x+8}$$ найдём производные:

   $$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad g'(x)=\frac{1}{\sqrt{x+8}}.$$

   Касательные параллельны, если

   $$\frac{1}{2\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a+8}}.$$

   Тогда

   $$\sqrt{a+8}=2\sqrt{a},$$

   $$a+8=4a,$$

   $$3a=8,$$

   $$a=\frac83.$$

   Проверим, не совпадают ли точки касания:

   $$\sqrt{\frac83}\ne 2\sqrt{\frac83+8},$$

   значит, общих точек у касательных нет.

Ответ

а) $$a=\frac78$$; б) $$a=\frac83$$.